学习空间向量的窍门

更新日期:2008-1-22 已被阅读：次　　

由于空间向量是平面向量的推广,空间向量所涉及的内容与平面向量基本相似,框架结构与平面向量基本一致,因此本节的教学方法,宜多采用类比法,在引导学生复习平面向量的相关知识的基础上,找出空间向量与平面向量的联系与区别.
　　我们是在学习了平面向量的基础上学习空间向量的，平面向量学习得好，对空间向量极为有利；反过来，通过空间向量的学习，也可以弥补学习平面向量时的不足.
　　空间向量概念是平面向量概念的推广，具有很强的可比性.
　　第一，它们的知识脉络是一样的，都是按照如下路线展开讨论：
　　向量的概念→向量的运算→基本定理→直角坐标系→向量的坐标运算→应用.
　　第二，有一些概念它们是完全一致的.例如
　　⑴定义：具有大小和方向的量称为向量；
　　⑵向量相等：长度相等且方向相同；
　　⑶向量加减法的运算法则：
　　　① 加法：平行四边形法则，三角形法则.
　　　② 减法：三角形法则.
　　⑷向量的数量积：a?b=|a|?|b|cos< a,b >
　　　推论1：向量的平方等于其模长的平方：a2=|a|2
　　　推论2：两向量夹角的余弦等于其数量积与模长积的商： cos< a,b > =a?b/|a|?|b|
　　⑸运算性质：
　　　①a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)， λ(a+b)=λa +λb；
　　　②a?b=b?a， λ(a?b)=(λa)b, a?(b+c)=a?b+ a?c.
　　⑹两向量垂直：a⊥b <=> a?b＝0.
　　⑺两向量平行：a∥b <=> b＝λa.
　　第三，有一些概念它们之间可以进行类比：
　　⑴向量的坐标运算：
　　向量 a＝(x1,y1), b＝(x2,y2) a＝(x1,y1,z1), b＝(x2,y2,z2)
　　加减法 a ±b＝(x1± x2,y1±y2) a ±b＝(x1± x2,y1±y2,z1±z2)
　　数量积 a?b＝x1x2+y1y2 a?b＝x1x2+y1y2+z1z2
　　⑵向量的模长：
　　若a＝(x,y)，则|a|2＝x2+y2 ；
　　若a＝(x,y,z) ，则|a|2＝x2+y2+z2.
　　⑶向量基本定理：
　　① 平面向量基本定理如果两个向量a、b不共面，那么对平面内任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，使p=xa＋yb．
　　②空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa＋yb＋zc．
　　⑷共线与共面向量
　　共线向量定理：对空间任意两个向量a、b（b≠0）, a∥b 的充要条件是存在实数x，使a＝xb；
　　共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa+yb．
　　⑸特殊的向量分解式：
　　　①平行四边形ABCD的对角线向量的分解式是：
　　　②平行六面体的对角线向量的分解式；
　　第四，有的概念在平面向量和空间向量中有特定的含义，要加以区别：
　　⑴平行的概念
　　a、b共线，也称为a∥b，其意义是所在的两条直线可能是同一直线，也可能是平行直线；
　　a∥平面α，其意义是所在的直线可能平行于平面也可能在平面内
　　⑵方向向量与法向量：
　　　直线的方向向量：
　　　平面的法向量：